Question

5．過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)x²-y²=2相交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)．若△OEF的面積不小于2$\sqrt{2}$．求直線(xiàn)L的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 依題意，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，代入雙曲線(xiàn)C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．由此入手能夠求出直線(xiàn)l的斜率的取值范圍．

解答 解：依題意，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，代入雙曲線(xiàn)C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．①
∵直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，
∴1-k²≠0，△＞0，
∴k∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）且k≠±1．②
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則由①式得
|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{3-{k}^{2}}}{|1-{k}^{2}|}$．③
當(dāng)E、F在同一支上時(shí)
S_△OEF=|S_△ODF-S_△ODE|=$\frac{1}{2}$|OD|•||x₁|-|x₂||=$\frac{1}{2}$|OD|•|x₁-x₂|；
當(dāng)E、F在不同支上時(shí)
S_△OEF=S_△ODF+S_△ODE=$\frac{1}{2}$|OD|•（|x₁|+|x₂|）=$\frac{1}{2}$|OD|•|x₁-x₂|．
綜上得S_△OEF=$\frac{1}{2}$|OD||x₁-x₂|，于是由|OD|=2及③式，
得S_△OEF=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{3-{k}^{2}}}{|1-{k}^{2}|}$．
若△OEF面積不小于2$\sqrt{2}$，則有$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{3-{k}^{2}}}{|1-{k}^{2}|}$≥2$\sqrt{2}$?k²≤2，解得-$\sqrt{2}$≤k≤$\sqrt{2}$．④
綜合②、④知，直線(xiàn)l的斜率的取值范圍為-$\sqrt{2}$≤k≤$\sqrt{2}$且k≠±1．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線(xiàn)、圓和雙曲線(xiàn)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查不等式的解法以及綜合解題能力