Question

設函數f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）（1）若對任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求實數m的最小值；（2）求函數g（x）=f（x）-x²-x在區(qū)間[0，2]上的極值．

Answer 1

解：（1）設f（x）在[0，1]上的最大值是f（x）_max，
∵對任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，
∴f（x）_max≤m．
∵，
當x∈[0，1]時，f′（x）≥0，
故f（x）在[0，1]內為增函數．
∴f（x）_max=f（1）=4-2ln2，
∴m≥4-2ln2，
即實數m的最小值是4-2ln2．
（2）∵g（x）=f（x）-x²-x=1+x-2ln（1+x），
∴．
當x＞1時，g′（x）＞0；當-1＜x＜1時，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1]上是減函數，在（1，2]上是增函數，
∴g（x）在[0，2]上的極小值為g（1）=2-2ln2．
分析：（1）設f（x）在[0，1]上的最大值是f（x）_max，由對任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，知f（x）_max≤m．由導數性質能求出f（x）_max=f（1）=4-2ln2，由此能求出實數m的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-x²-x=1+x-2ln（1+x），知．所以g（x）在[0，1]上是減函數，在（1，2]上是增函數，由此能求出g（x）在[0，2]上的極小值．
點評：本題考查實數m的最小值的求法和函數的極值的計算，考查利用導數求函數的最值的運算，考查運算求解能力，考查推理論證能力，考查函數與方程思想，考查轉化化歸思想．綜合性強，難度大，計算繁瑣，易出錯，是高考的重點．