Question

9．已知數列{a_n}各項均為正數，其前n項和為S_n，且滿足$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過S_n+1-S_n=a_n+1，推出{a_n}為公差等于2的等差數列，然后求解通項公式．
（2）化簡b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$$（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，利用裂項消項法求解數列的和，通過數列的單調性推出結果即可．

解答 解：（1）因為（a_n+1）²=4S_n，所以S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$，S_n+1=$\frac{（{a}_{n+1}+1）^{2}}{4}$．
所以S_n+1-S_n=a_n+1=$\frac{（{a}_{n+1}+1）^{2}-（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$，
即4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n，∴2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）…（4分）
因為a_n+1+a_n≠0，所以a_n+1-a_n=2，
即{a_n}為公差等于2的等差數列．由（a₁+1）²=4a₁，解得a₁=1，所以a_n=2n-1…（6分）
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$$（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$$（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$…（8分）
∵T_n+1-T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+3）}$-$（{\frac{1}{2}-\frac{1}{2（2n+1）}}）$=$\frac{1}{2（2n+1）}$-$\frac{1}{2（2n+3）}$
=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$＞0，
∴T_n+1＞T_n．∴數列{T_n}為遞增數列，…（10分）
∴T_n的最小值為T₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．所以$\frac{1}{3}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列的判斷，數列求和的方法，考查轉化思想以及計算能力．