Question

如圖,四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD為梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,點(diǎn)E在棱PB上,且PE=2EB.

(1)求證:平面PAB⊥平面PCB;

(2)求證:PD∥平面EAC;

(3)求二面角A-EC-P的大小.

Answer 1

(1)證明:∵PA⊥底面ABCD,

∴PA⊥BC.

又AB⊥BC,PA∩AB=A,

∴BC⊥平面PAB.

又BC?平面PCB,

∴平面PAB⊥平面PCB.

(2)證法一:∵PA⊥底面ABCD,

∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影.

又∵PC⊥AD,

∴AC⊥AD.

在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,

得∠BAC=,

∴∠DCA=∠BAC=.

又AC⊥AD,故△DAC為等腰直角三角形.

∴DC=2AC=2(2AB)=2AB.

連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)M,

則=2.

在△BPD中,=2,

∴PD∥EM.

又PD平面EAC,EM平面EAC,

∴PD∥平面EAC.

證法二:建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,如圖,

設(shè)PA=AB=BC=a,則A(0,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,,).

設(shè)D(a,y,0),則=(-a,-a,a),=(a,y,0).∵CP⊥AD,∴·=-a²-ay=0,

解得y=-a.∴DC=2AB.連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)M,則=2.

在△BPD中,=2,∴PD∥EM.

又PD平面EAC,EM平面EAC,

∴PD∥平面EAC.

(3)解法一:在等腰Rt△PAB中,取PB中點(diǎn)N,連結(jié)AN,

則AN⊥PB.

∵平面PAB⊥平面PCB,

且平面PAB∩平面PCB=PB,

∴AN⊥平面PBC.

在平面PBC內(nèi),過N作NH⊥直線CE于H,連結(jié)AH,由于NH是AH在平面CEB內(nèi)的射影,故AH⊥CE.

∴∠AHN就是二面角ACEP的平面角.

在Rt△PBC中,設(shè)CB=a,則PB==a,BE=PB=a,

NE=PB=a,CE==a.

由NH⊥CE,EB⊥CB可知:△NEH∽△CEB,

∴.

代入解得NH=.

在Rt△AHN中,AN=a,

∴tan∠AHN==,

即二面角ACEP的大小為arctan.

解法二:設(shè)n₁=(x,y,1)為平面EAC的一個法向量,則n₁⊥AC,n₁⊥AE,

∴

解得x=,y=,

∴n₁=(,,1).

設(shè)n₂=(x′,y′,1)為平面EBC的一個法向量,則n₂⊥,n₂⊥.

又=(a,0,0),=(0,,),

∴

解得x′=0,y′=1.∴n₂=(0,1,1).

cos〈n₁,n₂〉==.

∴二面角A-CE-P的大小為arccos.