Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CF⊥B₁E；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，欲證線線垂直，可先證出CF⊥平面BB₁D₁D，再由線面垂直的性質(zhì)證明CF⊥B₁E即可；
（Ⅱ）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．
解答：解：（I）E、F分別為D₁D，DB的中點(diǎn)，
則CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF⊥B₁E
（II）∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁，，
∵，，
∴，即∠EFB₁=90°，
∴=．
點(diǎn)評：本題考查線面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定理及公式，本題是立體幾何中的常規(guī)題題型，難度不大，計(jì)算麻煩．