Question

7．在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)也為a，以底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，P點(diǎn)在側(cè)棱SC上，Q點(diǎn)在底面ABCD的對(duì)角線BD上，試求P、Q兩點(diǎn)間的最小距離．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出P（x，x，$\frac{\sqrt{2}a}{2}-\sqrt{2}x$），x＞0，Q（y，y，0），由此能求出P、Q兩點(diǎn)間的最小距離．

解答 解：∵正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)也為a，
P點(diǎn)在側(cè)棱SC上，Q點(diǎn)在底面ABCD的對(duì)角線BD上，
∴P點(diǎn)在底面上的射影R在OC上，
又底面長(zhǎng)為a，∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴PR=RC，
∴P（x，x，$\frac{\sqrt{2}a}{2}-\sqrt{2}x$），x＞0，
又Q點(diǎn)在底面ABCD的對(duì)角線BD上，∴Q（y，y，0），
∴|PQ|=$\sqrt{（-x-y）^{2}+（x-y）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a-\sqrt{2}x）^{2}}$=$\sqrt{4（x-\frac{a}{4}）^{2}+2{y}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
當(dāng)x=$\frac{a}{4}$，y=0時(shí)，d取最小值$\frac{a}{2}$，
此時(shí)P、Q為SC和DB的中點(diǎn)，
∴P、Q兩點(diǎn)間的最小距離為$\frac{a}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．