Question

13．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a、b、c組成一個公差為d=-1的等差數(shù)列，若A=2C，試求△ABC的三邊a，b，c的長．

Answer 1

分析 依題意可得，a=b+1，c=b-1（b＞1），由正弦定理及A=2C，得$\frac{b+1}{sin2C}=\frac{b-1}{sinC}$，化簡可得 $cosC=\frac{b+1}{2（b-1）}$．①，由余弦定理可得：$cosC=\frac{b+4}{2（b+1）}$．②，由①②兩式聯(lián)立，即可得解．

解答 解：依題意，a，b，c組成一個公差d=-1的等差數(shù)列，即a=b+1，c=b-1（b＞1）
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$及A=2C，得$\frac{b+1}{sin2C}=\frac{b-1}{sinC}$，
∴$\frac{b+1}{b-1}=\frac{sin2C}{sinC}=2cosC$，即 $cosC=\frac{b+1}{2（b-1）}$．①
由余弦定理，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$=$\frac{{{{（b+1）}^2}+{b^2}-{{（b-1）}^2}}}{2（b+1）b}$
得   $cosC=\frac{b+4}{2（b+1）}$．②
由①②兩式聯(lián)立，消去cosC得$\frac{b+4}{b+1}=\frac{b+1}{b-1}$，解之得b=5．
所以a=6，b=5，c=4．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基本知識的考查．