Question

設(shè)f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0)的圖象的一條對稱軸是直線x=.

(1)求φ;

(2)求y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(3)證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖象不相切.

Answer 1

(1)解:∵x=是函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸,

∴sin(2×+φ)=±1.

∴+φ=kπ+,k∈Z.

∵-π＜φ＜0,∴φ=.

(2)解:由(1)知φ=,因此y=sin(2x-).

由題意得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z.

∴函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ+,kπ+］,k∈Z.

(3)證明:∵|y′|=|［sin(2x-)］′|=|2cos(2x-)|≤2,

∴曲線y=f(x)的切線斜率的取值范圍為［-2,2］.

而直線5x-2y+c=0的斜率為＞2,

∴直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=sin(2x-)的圖象不相切.

    深化升華 第三問考查直線與三角函數(shù)圖象的位置關(guān)系,很有新意.把函數(shù)值域、導數(shù)、斜率有機地聯(lián)系在一起,是一道靈活的好題.