Question

已知等差數(shù)列{a_n} 中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_n•a_n+1，數(shù)列{}的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：T_n＜；
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式和已知條件可得解出即可；
（2）利用（1）和“裂項求和”即可得出；
（3）利用等比數(shù)列的定義、分類討論和整數(shù)的性質及不等式的性質即可得出．
解答：解：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，由解得．∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．
（2）∵a_n=3n-2，a_n+1=3n+1，∴b_n=a_n•a_n+1=（3n-2）（3n+1），
∴．
∴．
（3）由（2）知，，∴，，
∵T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，∴，即．
當m=2時，，n=16，符合題意；
當m=3時，，n無正整數(shù)解；
當m=4時，，n無正整數(shù)解；
當m=5時，，n無正整數(shù)解；
當m=6時，，n無正整數(shù)解；
當m≥7時，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，則，而，
所以，此時不存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．
綜上，存在正整數(shù)m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．
點評：熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、等比數(shù)列的定義、分類討論和整數(shù)的性質及不等式的性質等是解題的關鍵．