Question

13．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．如果對于常數(shù)λ，在正方形ABCD的四條邊上，有且只有6個不同的點P使得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=λ$成立，那么λ的取值范圍是（　�。�

• A． （0，7）
• B． （4，7）
• C． （0，4）
• D． （-5，16）

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，逐段分析$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范圍及對應(yīng)的解，

解答 解：以DC為x軸，以DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則E（0，4），F(xiàn)（6，4）．
（1）若P在CD上，設(shè)P（x，0），0≤x≤6．∴$\overrightarrow{PE}$=（-x，4），$\overrightarrow{PF}$=（6-x，4）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-6x+16，∵x∈[0，6]，∴7≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤16．
∴當(dāng)λ=7時有一解，當(dāng)7＜λ≤16時有兩解．
（2）若P在AD上，設(shè)P（0，y），0＜y≤6．∴$\overrightarrow{PE}$=（0，4-y），$\overrightarrow{PF}$=（6，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（4-y）²=y²-8y+16，∵0＜y≤6，∴0≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜16．
∴當(dāng)λ=0或4＜λ＜16，有一解，當(dāng)0＜λ≤4時有兩解．
（3）若P在AB上，設(shè)P（x，6），0＜x≤6.$\overrightarrow{PE}$=（-x，-2），$\overrightarrow{PF}$=（6-x，-2）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-6x+4，∵0＜x≤6．∴-5≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤4．
∴當(dāng)λ=-5或λ=4時有一解，當(dāng)-5＜λ＜4時有兩解．
（4）若P在BC上，設(shè)P（6，y），0＜y＜6，∴$\overrightarrow{PE}$=（-6，4-y），$\overrightarrow{PF}$=（0，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（4-y）²=y²-8y+16，∵0＜y＜6，∴0≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜16．
∴當(dāng)λ=0或4≤λ＜16時有一解，當(dāng)0＜λ＜4時有兩解．
綜上，∴0＜λ＜4．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積計算，二次函數(shù)的根的個數(shù)判斷．屬于中檔題．