Question

18．已知α為銳角，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求tan（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行求解．
（2）利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．

解答 解（1）∵α為銳角，
∴0＜x＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
則tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{cos（α+\frac{π}{4}）}$=2；
（2）∵cos2（α+$\frac{π}{4}$）=2cos²（α+$\frac{π}{4}$）-1=2×（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²-1=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{2}$）=-sin2α=-$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
即0＜α＜$\frac{π}{4}$，則0＜2α＜$\frac{π}{2}$，則cos2α=$\frac{4}{5}$，
則sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin2αcos$\frac{π}{3}$+cos2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用兩角和差的正弦公式以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．