Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-n，分別令n=1，n=2，n=3，代入到遞推公式可求
（Ⅱ）由S_n=2a_n-n，可得S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2），兩式相減得a_n=2a_n-1+1，則可得a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2，n∈N^*）則數列{a_n+1}是等比數列，利用等比數列的通項公式可求
a_n+1，進而可求a_n
解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因為S_n=2a_n-n，
令n=1，可得a₁=S₁=2a₁-1
∴a₁=1…（3分）
令n=2，可得1+a₂=S₂=2a₂-2
∴a₂=3
令n=3，可得1+3+a₃=S₃=3a₃-3
∴a₃=7．…（6分）
（Ⅱ）因為S_n=2a_n-n，
所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2，n∈N^*）…（8分）
兩式相減得a_n=2a_n-1+1，
所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2，n∈N^*）…（10分）
又因為a₁+1=2，所以數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列
所以a_n+1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．…（12分）
點評：本題主要考查了由數列的遞推公式求解數列的通項公式，解題的關鍵是公式的應用．