Question

已知在數列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=是函數f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若＜t＜2，b_n=（n∈N^*），求證：++…+＜2ⁿ-．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題求數列的通項公式，關鍵是構造數列{a_n+1-a_n}，再利用等比數列的通項公式求出即可，要注意對t的討論．
（2）已知b_n，求出=（tⁿ+t^-n），，接下來的關鍵是利用t的范圍，判斷2ⁿ+2^-n＞tⁿ+t^-n，也就求出＜（2ⁿ+2^-n），從而求出++…+＜2ⁿ-（1+），再利用均值不等式1+＞2的值，即可證明．
解答：解：（1）由題意得：f′（）=0，
即3a_n-1t-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2），
則當t≠1時，數列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項，t為公比的等比數列，
所以a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1
由a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=t+（t²-t）[1+t+t²+…+t^n-2]
=t+（t²-t）•=tⁿ
此式對t=1也成立，所以a_n=tⁿ（n∈N^*）．
（2）=（a_n+）=（tⁿ+t^-n），
因為＜t＜2，所以（2t）ⁿ＞1，tⁿ＜2ⁿ．
則（2ⁿ+2^-n）-（tⁿ+t^-n）=（2ⁿ-tⁿ）[（2t）ⁿ-1]＞0，
有＜（2ⁿ+2^-n），
故++…+＜[（2+）+（2²+）+…+（2ⁿ+）]=2ⁿ-（1+），
∵1+＞2
∴++…+＜2ⁿ-=2ⁿ-即證．
點評：本題是關于求解數列相關問題的試題，是一道綜合題，本題主要運用了函數的極值，均值不等式，等比數列的通項公式等數學知識，對于（2）更是離不開平時的經驗和總結，需熟練掌握才行．