Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線斜率為-1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）+2mx≤（1-m）（e^-x-1）在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值；
（2）利用參數(shù)分離法，將不等式mf（x）+2mx≤（1-m）（e^-x-1）在（0，+∞）上恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值問(wèn)題即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=ln2時(shí)，f（x）有極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）無(wú)極大值．
（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）+2mx≤（1-m）（e^-x-1）在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1在（0，+∞）上恒成立，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{x}+{e}^{-x}-1}$在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)t=e^x，（t＞1），則m≤$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$=-$\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+1}$≥-$\frac{1}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立，
∴m≤-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無(wú)限思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想．