Question

18.    如圖1，已知ABCD是上.下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO₁折成直二面角，如圖2.

（Ⅰ）證明：AC⊥BO₁；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O₁的大小.

Answer 1

18．解法一（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

       所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

       即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO₁所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

       如圖3，則相關(guān)各點的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）

圖3

       O₁（0，0，）.

       從而

 所以AC⊥BO₁.

（II）解：因為

所以BO₁⊥OC，由（I）AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，

是平面OAC的一個法向量.

設(shè)是平面O₁AC的一個法向量，

由   

得.

設(shè)二面角O—AC—O₁的大小為，由、的方向可知，>，

       所以cos，>=

 

       即二面角O—AC—O₁的大小是

 

解法二（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，

     所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

圖4

       即OA⊥OB. 從而AO⊥平面OBCO₁，

       OC是AC在面OBCO₁內(nèi)的射影.

       因為    ，

       所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，從而OC⊥BO₁

       由三垂線定理得AC⊥BO₁.

（II）解 由（I）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

       設(shè)OC∩O₁B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結(jié)O₁F（如圖4），則EF是O₁F在平面AOC

       內(nèi)的射影，由三垂線定理得O₁F⊥AC.

       所以∠O₁FE是二面角O—AC—O₁的平面角.

       由題設(shè)知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

       所以，

       從而，    

又O₁E=OO₁·sin30°=，所以 

即二面角O—AC—O₁的大小是