Question

已知以T=4為周期的函數(shù)，其中m＞0．若方程4f（x）=x恰有5個實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：根據(jù)對函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時，f（x）的圖象為半個橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個實(shí)數(shù)解，則需直線y=與第二個橢圓相交，而與第三個橢圓不公共點(diǎn)．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．
解答：解：：∵當(dāng)x∈（-1，1]時，將函數(shù)化為方程x²+=1（y≥0），此時，函數(shù)的圖象實(shí)質(zhì)上為一個半橢圓，其圖象如圖所示：
同時在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]時的函數(shù)圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象．
由圖易知直線 y=與第二個半橢圓（x-4）²+=1（y≥0）相交，而與第三個半橢圓（x-8）²+=1 （y≥0）
無公共點(diǎn)時，方程恰有5個實(shí)數(shù)解，
將 y=代入（x-4）²+=1 （y≥0）得，（16m²+1）x²-128m²x+240m²=0，令t=16m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t（1+t）＞0，得 t＞15．
由 16m² ＞15，且m＞0得 m＞．
再將 y=代入（x-8）²+=1 化簡，再由判別式△′＜0可得m＜．
綜上可得 ＜m＜，
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個數(shù)判斷，及函數(shù)的周期性，其中根據(jù)方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式進(jìn)行分析，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．