Question

3．在△ABC中，如果4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3$\sqrt{3}$，則∠C=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 先對條件中兩個式子平方后相加得到關(guān)于A+B的正弦值，再由誘導公式得到角C的正弦值，最后得到答案．

解答 解：對4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3$\sqrt{3}$，兩邊同時平方，然后兩式相加
化簡得16（sinAcosB+sinBcosA）=8
∴sin（A+B）=$\frac{1}{2}$
∴sin（180°-C）=sinC=$\frac{1}{2}$
得出∠C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5}{6}$π，
若C=$\frac{5}{6}$π，則A+B=$\frac{π}{6}$，cosB＜1，2sinA＜1，4sinA+2cosB=1，不成立，
所以C=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的正弦公式的應用．屬基礎(chǔ)題．