Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
(1)證明：BD⊥AA₁；
(2)證明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
(3)在直線(xiàn)CC₁上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)證明：連接BD，
∵平面ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
則BD⊥平面AA₁C₁C，
又A₁A平面AA₁C₁C，
故BD⊥AA₁。
(2)證明：由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性質(zhì)知AB₁∥DC₁，A₁D∥B₁C，
AB₁∩B₁C=B₁，A₁D∩DC₁=D，
由面面平行的判定定理推論知：平面AB₁C∥平面DA₁C₁。
(3)解：存在這樣的點(diǎn)P滿(mǎn)足題意。
∵A₁B₁ABDC，
∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，
∴A₁D∥B₁C，
在C₁C的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)P，使C₁C=CP，連接BP，
∵B₁BCC₁，
∴BB₁CP，
∴四邊形BB₁CP為平行四邊形，
∴BP∥B₁C，∴BP∥A₁D，
∴BP∥平面DA₁C₁。