Question

11．已知函數(shù)f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx
（Ⅰ）當(dāng)a≤-2時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意化簡函數(shù)解析式，根據(jù)求導(dǎo)公式分別求出f′（x），分別判斷出f′（x）與0的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間、極值點；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的定義域為x∈（0，+∞），再化簡不等式f（x）＞0為$|x+a|＞\frac{lnx}{2x}$，對x與1的關(guān)系進(jìn)行分類討論，當(dāng)x＞1時轉(zhuǎn)化為“a＜-x-$\frac{lnx}{2x}$恒成立或$a＞-x+\frac{lnx}{2x}$恒成立”，再分別構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 當(dāng)a≤-2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-\frac{1}{2}lnx，x≥-a}\\{-{x}^{2}-ax-\frac{1}{2}lnx，0＜x＜-a}\end{array}\right.$．
①當(dāng)x≥-a時，$f′（x）=2x+a-\frac{1}{2x}=\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$＞0，
所以f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點…（2分）
②當(dāng)0＜x＜-a時，$f′（x）=2x-a-\frac{1}{2x}=\frac{-4{x}^{2}-2ax-1}{2x}$．
令f′（x）=0得，-4x²-2ax-1=0，△=4a²-16＞0，
則${x}_{1}=\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$，${x}_{2}=\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$，且0＜x₁＜x₂＜-a，
當(dāng)x∈（0，x₁）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（x₂，a）時，f′（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間（0，x₁）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增；在（x₂，a）上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)a＜-2時，f（x）的極小值點為$x=\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$和x=-a，極大值點為$x=\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$；…（6分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為x∈（0，+∞），由f（x）＞0可得$|x+a|＞\frac{lnx}{2x}$…（*）
（�。┊�(dāng)x∈（0，1）時，$\frac{lnx}{2x}＜0$，|x+a|≥0，不等式（*）恒成立；…（7分）
（ⅱ）當(dāng)x=1時，$\frac{lnx}{2x}=0$，即|1+a|＞0，所以a≠1；…（8分）
（ⅲ）當(dāng)x＞1時，不等式（*）恒成立等價于a＜-x-$\frac{lnx}{2x}$恒成立或$a＞-x+\frac{lnx}{2x}$恒成立．
令$g（x）=-x-\frac{lnx}{2x}$，則$g′（x）=-1-\frac{\frac{1}{x}•2x-2lnx}{4{x}^{2}}$=$\frac{-{2x}^{2}-1+lnx}{2{x}^{2}}$．
令k（x）=-2x²-1+lnx，則$k′（x）=-2x+\frac{1}{x}$=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$＜0，
而k（1）=-1-1+ln1=-2＜0，所以k（x）=-2x²-1+lnx＜0，即$g′（x）=\frac{-{2x}^{2}-1+lnx}{2{x}^{2}}＜0$，
因此$g（x）=-x-\frac{lnx}{2x}$在（1，+∞）上是減函數(shù)，所以g（x）在（1，+∞）上無最小值，所以a＜-x-$\frac{lnx}{2x}$不可能恒成立．…（10分）
令h（x）=$-x+\frac{lnx}{2x}$，則$h′（x）=-1+\frac{\frac{1}{x}•2x-2lnx}{4{x}^{2}}$=$\frac{-{2x}^{2}+1-lnx}{2{x}^{2}}$＜0，因此h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
所以h（x）＜h（1）=-1，所以a≥-1．又因為a≠-1，所以a＞-1．
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（-1，+∞）．…（12分）

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等，恒成立問題的轉(zhuǎn)化，以及轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、構(gòu)造函數(shù)法等，考查化簡、靈活變形能力，綜合性強(qiáng)、難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點、難點．