Question

已知，，且
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ）求角β．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把所求式子的分母利用cos（+α）=-sinα誘導(dǎo)公式化簡，分子第一個(gè)因式利用cos（π+α）=-cosα，第二個(gè)因式利用tan（π-α）=-tanα化簡，第三個(gè)因式利用sin（-α）=cosα，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，約分后再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，把cosα的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由cosα的值，根據(jù)α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，由α和β的范圍，求出α-β的范圍，由cos（α-β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（α-β）的值，然后把所求的角β變形為α-（α-β），利用兩角差的余弦函數(shù)公式表示出cos[α-（α-β）]即cosβ，把各自的值代入即可求出cosβ的值，根據(jù)β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出β的度數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）∵cosα=，
∴
==-cos2α=1-2cos²α=；

（Ⅱ）由，，且，
得到sinα==，α-β∈（0，）則sin（α-β）=，
所以cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=×+×==，
則β=．
點(diǎn)評：此題綜合考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)在求值時(shí)注意角度的范圍，以及角β=α-（α-β）的靈活變換．