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已知函數f(x)=，g(x)=.

（1）證明：f(x)是奇函數；并求f(x)的單調區(qū)間.

（2）分別計算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數f(x)和g(x)的對所有不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明.

答案：
解析：

（1）∵函數f(x)的定義域（－∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，

又f(－x)= =－=－f(x).

∴f(x)是奇函數.設x1<x2，x1、x2∈(0,+∞)，

f(x1)－f(x2)=－=(x1－x2)(1+).

∵x1－x2<0，1+>0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x)在（0，+∞）上單調遞增.

又∵f(x)是奇函數，∴f(x)在（－∞，0）上也單調遞增.

（2）算得f(4)－5f(2)g(2)=0，f(9)－5f(3)g(3)=0.

由此概括出對所有不等于零的實數x有f(x2)－5f(x)g(x)=0.

f(x2)－5f(x)g(x)= －5··

=(x－x)－(x－x)=0.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，則a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定義域上的遞減函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數．則實數a的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中實數a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調性．

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