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已知點Q（-
6
，1），邊長為4的正方形內(nèi)接于橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點F1、F2分別是橢圓的左右焦點．
（1）當橢圓的右準線為x=2
6
時，求橢圓的方程；
（2）當橢圓的離心率為多大時，雙曲線
x2
a2
-
y2
16b2
=1的焦距最小？并求出此最小焦距．
考點：橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由于邊長為4的正方形內(nèi)接于橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），可得點（2，2）在橢圓上，
4
a2
+
4
b2
=1．
由橢圓的右準線為x=2
6
=
a2
c
，及a2=b2+c2，聯(lián)立解得即可．
（2）由（1）可知：
4
a2
+
4
b2
=1．可得
b2
a2
=
1
4
b2-1．橢圓的離心率e=
1-
b2
a2
=
2-
1
4
b2
．
雙曲線
x2
a2
-
y2
16b2
=1的焦距=2
a2+16b2
=2
b2(
a2
b2
+16)
=2
b2(
4
b2-4
+16)
=4
4(b2-4+
1
b2-4
)+17
，利用基本不等式的性質(zhì)就看得出．
解答： 解：（1）∵邊長為4的正方形內(nèi)接于橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
∴點（2，2）在橢圓上，∴
4
a2
+
4
b2
=1．
∵橢圓的右準線為x=2
6
=
a2
c
，又a2=b2+c2，
聯(lián)立解得c=
6
，a2=12，b2=6．或c=
4
6
3
，a2=16，b2=
16
3
．
∴橢圓的方程為
x2
12
+
y2
6
=1或
x2
16
+
3y2
16
=1．
（2）由（1）可知：
4
a2
+
4
b2
=1．可得
b2
a2
=
1
4
b2-1．
e=
1-
b2
a2
=
2-
1
4
b2

∵雙曲線
x2
a2
-
y2
16b2
=1的焦距=2
a2+16b2
=2
b2(
a2
b2
+16)
=2
b2(
4
b2-4
+16)
=4
4(b2-4+
1
b2-4
)+17
≥4
4×2
(b2-4)•
1
b2-4
+17
=20，當且僅當b2=5取等號，雙曲線的最小焦距為20．
橢圓的離心率e=
2-
5
4
=
3
2
．
∴當橢圓的離心率為
3
2
時，雙曲線
x2
a2
-
y2
16b2
=1的焦距最小，最小焦距為20．
點評：本題考查橢圓方程的求法，橢圓性質(zhì)的應用，考查分析問題解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax2-x+
1
16
a）的定義域為R；命題q：不等式
2x+1
＜1+ax對一切正實數(shù)均成立．如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知（2b-c）cosA-acosC=0．
（1）求∠A的值；
（2）若a=
3
，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列三個命題：
①“一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等”是“兩個平面平行”的充要條件；
②設實數(shù)x，y滿足約束條件
y≥0
y≤4x
x≤1
，若目標函數(shù)z=（a2+b2）x+y的最大值為8，則a+2b的最小值是-2
5
；
③四棱錐P-ABCD，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD為正三角形且垂直底面ABCD，則四棱錐P-ABCD的外接球半徑為
21
3
；
其中正確的有
 
．（只填寫命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x2+（2-a）x，a≥0，若對任意x∈R，都有f（x-
2
a）≤f（x），則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點；
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點；
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點；
④如果k與b都是有理數(shù)，則直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點；
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩條相交直線a、b，a∥平面α，則b與平面α的位置關系（　　）
A、b∥α
B、b與α相交
C、b?α
D、b∥α或b與α相交

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校高一級數(shù)學必修一模塊考試的成績分為四個等級，85分-100分為A等，70分-84分為B等，55分-69分為C等，54分以下為D等．右邊的莖葉圖（十位為莖，個位為葉）記錄了某班某小組6名學生的數(shù)學必修一模塊考試成績．
（1）求出莖葉圖中這6個數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）若從這6名學生中隨機抽出2名，分別求恰好有一名學生的成績達到A等的概率和至多有一名學生的成績達到A等的概率．

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同步練習冊答案