Question

【題目】已知橢圓的右焦點為F，點B是橢圓C的短軸的一個端點，ΔOFB的面積為，橢圓C上的兩點H、G關于原點O對稱，且、的等差中項為2

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點M（2，1）的直線與橢圓C交于不同的兩點P、Q，且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；

【解析】

（1）由等差中項的性質和橢圓的對稱性知，求出．通過三角形的面積以及，推出，，

得到橢圓的方程．

（2）當直線與軸垂直時，直線與橢圓相切，不滿足條件，設，，，，直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理．向量關系．轉化求解即可．

（1）由等差中項的性質和橢圓的對稱性知，，．

又，，

又，，，，

故橢圓的方程為．

（2）當直線與軸垂直時，直線與橢圓相切，不滿足條件，

故可設，，，，直線的方程為，

代入橢圓方程得，

則，，

△，．

，即，

，即，

，

解得，又，

存在滿足條件的直線，其方程為．