Question

5．已知函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-ax+b}{{x}^{2}+x+1}$的值域為（1，2]，求a、b的值．

Answer 1

分析 先將原式化成整式，即（y-1）x²+（y+a）x+y-b=0．顯然該方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解，所以其判別式大于或等于零，則可得關(guān)于y的不等式，根據(jù)題意，該不等式的解集為（1，2]，則問題可解．

解答 解：由題意，要求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-ax+b}{{x}^{2}+x+1}$的值域，
即（y-1）x²+（y+a）x+y-b=0在實數(shù)范圍內(nèi)有解，
所以（y+a）²-4（y-b）（y-1）≥0，則該不等式的解為（1，2]．
所以y=1，2為關(guān)于y的方程（y+a）²-4（y-b）（y-1）=0的解．
所以$\left\{\begin{array}{l}{（1+a）^{2}=0}\\{（2+a）^{2}-4（2-b）=0}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了利用判別式法求由二次式或一次式得到的函數(shù)值域的方法，考查了函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系．