Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）的部分圖象如圖所示，若函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線對稱．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）若關于x的方程3[g（x）]²-mg（x）+1=0在區(qū)間上有解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）令F（x）=f（x）+g（x），x∈[0，π]，求函數(shù)F（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由圖可知，A=1，
，∴ω=1，
即．
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
又3[g（x）]²-mg（x）+1=0，
∴，
①當g（x）=0時，m∈φ；
②當時，=≤-3×2=-2
∴；
③當0＜g（x）≤1時，≥3×2=2
∴．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是．
（3）∵F（x）=f（x）+g（x），
∴=．
又x∈[0，π]，∴，
∴，
即，
∴函數(shù)函數(shù)F（x）的值域為．
分析：（1）利用函數(shù)圖象先求函數(shù)的振幅和周期，再確定初相φ的值，最后利用函數(shù)圖象的對稱性，求得函數(shù)g（x）的解析式即可
（2）先求函數(shù)g（x）在區(qū)間上的值域，再將方程有解問題轉化為求函數(shù)，的值域問題，利用均值定理即可求得函數(shù)值域；
（3）先利用三角變換公式將函數(shù)F（x）的解析式化簡為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質求函數(shù)值域即可
點評：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質，三角變換公式在化簡和求值中的應用，均值定理求函數(shù)最值的方法，屬中檔題