Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D為BB₁的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)C₁D與A₁C所成角的余弦值為（　�。�

• A、

  15

  15

• B、

  2 5

  7

• C、

  10

  5

• D、

  10

  15

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)E，取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF∥C₁D，所以∠CEF或它的補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)C₁D與直線(xiàn)A₁C所成的角，由此能求出異面直線(xiàn)C₁D與直線(xiàn)A₁C所成角的余弦值．

解答： 解：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)E，取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF∥C₁D，
∴∠CEF或它的補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)C₁D與直線(xiàn)A₁C所成的角，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁，
又A₁C₁⊥A₁B₁，∴A₁C₁⊥平面A₁B₁BA∴AD⊥A₁C₁，AD⊥A₁C₁，則AD⊥AC，
又AF=

1

2

AD=

2

2

，
在△CEF中，CE=

1

2

A₁C=

5

2

，EF=

1

2

C1D=

3

2

，CF=

AC2+AF2

=

6

2

，
cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

15

15

．
∴異面直線(xiàn)C₁D與直線(xiàn)A₁C所成角的余弦值為

15

15

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線(xiàn)及其所成的角，解法的關(guān)鍵是將異面直線(xiàn)夾角轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，用余弦定理求解．