Question

 如圖，在正三棱柱中，分別是的中點(diǎn),．

    （Ⅰ）在棱上是否存在點(diǎn)使？如果存在，

試確定它的位置；如果不存在，請說明理由；

   （Ⅱ）求截面與底面所成銳二面角的正切值；

   （Ⅲ）求點(diǎn)到截面的距離．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：解法一：（Ⅰ）存在且為的中點(diǎn)，連接,

∵分別是的中點(diǎn), ∴．           （3分）

（Ⅱ）延長與的延長線交于，連接，

則為截面與底面所成二面角的棱，

    取的中點(diǎn)，連,則．

∵,∴為的中點(diǎn)．

由題設(shè)得,且,

作于,則,連,

又,

由三垂線定理可知，

∴為截面與底面所成的銳二面角．                               （6分）

在中，,∴．        　  （8分）

（Ⅲ）在中,得，

在中,得,

由，

，解得，即到截面距離為．    （12分）

解法二：（Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

的方向分別作為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則

；

∵分別是

的中點(diǎn)，∴,

,；

設(shè)平面的法向量為，

由得，

解得，取得；

又平面的一個法向量為,                                （6分）

設(shè)截面與底面所成銳二面角為，

則，

∴，得．

故截面與底面所成銳二面角的正切值為2．   （8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一個法向量為，；

設(shè)點(diǎn)到截面的距離為，

由向量的投影得，

故點(diǎn)到截面的距離為．                                     （12分）