Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）．
（1）求函數(shù)|f（x）|的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)于一切a∈[0，1]，若存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立，求b-a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²+a²-b
∴①當(dāng)a²-b≥0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：（-∞，-a]上為減，[-a，+∞）上為增；（2分）
②當(dāng)a²-b＜0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：減，
增，減，增（5分）
（2）①當(dāng) 時(shí)，由方程 ，解得 ，
此時(shí) ，此時(shí)不滿足存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立．（8分）
②當(dāng) 時(shí)，由方程 ，解得
此時(shí) ，滿足存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立．（11分），此時(shí)有，故對(duì)一切a∈[0，1]都成立，由此解得b-a∈[-，-]
③當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切a∈[0，1]，都不存在實(shí)數(shù)m，使得與能同時(shí)成立．
綜上得b-a∈[-，-]（16分）
分析：（1）f（x）=（x+a）²+a²-b開(kāi)口向上，但a²-b的正負(fù)不定，所以在取絕對(duì)值時(shí)要分類討論．在每一種情況下分別求|f（x）|的單調(diào)區(qū)間．
（2）存在實(shí)數(shù)m，使得 同時(shí)成立，即為兩變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于等于 的兩變量之間間隔不超過(guò)1，故須對(duì)a²-b和 ，的大小分情況討論，求出a²-b的取值范圍，進(jìn)而求得b-a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)上的分類討論思想．分類討論目的是，分解問(wèn)題難度，化整為零，各個(gè)擊破．