Question

6．定義在（-2，2）上的奇函數(shù)f（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=xlnx-a（x-1）（a＞0），則a的取值范圍是{a|a≥2ln2，或a=1}．

Answer 1

分析 由f（x）為定義在（-2，2）上的奇函數(shù)便得到f（0）=0，又f（1）=0，從而問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為f（x）在（0，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，可設(shè)h（x）=xlnx，g（x）=a（x-1），容易判斷a=1時(shí)h（x）=xlnx與g（x）=x-1相切，滿(mǎn)足題意．而a＞0，且a≠1時(shí)，可以得出g（x）=a（x-1）過(guò)點(diǎn)（2，2ln2）時(shí)，h（x）與g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，而此時(shí)a=2ln2，從而得到要使得g（x）=a（x-1）與h（x）=xlnx在（0，2）上只有一個(gè)交點(diǎn)，則需滿(mǎn)足a≥2ln2，這樣即得出a的取值范圍．

解答 解：f（x）為（-2，2）上的奇函數(shù)；
∴f（0）=0，又f（1）=0；
∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）在（0，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
設(shè)h（x）=xlnx，g（x）=a（x-1）；
①a=1時(shí)，h′（x）=lnx+1，∴h′（1）=1；
∴h（x）=xlnx在（1，0）處的切線方程為y=x-1，即g（x）與h（x）在（1，0）相切，滿(mǎn)足g（x）和h（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：

②a＞0，a≠1時(shí)，h（x），g（x）都過(guò)點(diǎn)（1，0）；
∴當(dāng)g（x）=a（x-1）過(guò)點(diǎn)（2，2ln2）時(shí)與h（x）有兩個(gè)交點(diǎn)；
此時(shí)a=2ln2；
∴要使g（x）=a（x-1）與h（x）=xlnx在（0，2）上只有一個(gè)交點(diǎn)，則a≥2ln2；
綜上所述，a的取值范圍是{a|a≥2ln2，或a=1}．
故答案為：{a|a≥2ln2，或a=1}．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，原點(diǎn)處的函數(shù)值為0，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求曲線在曲線上一點(diǎn)處切線的方法，數(shù)形結(jié)合解題的方法，清楚f（x）=h（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和h（x）與g（x）交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系．