Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC上一點，當F為DC的中點時，EF平行于平面PAD.

（Ⅰ）求證：平面PCB；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）平面可得，從而證出平面，則，

從而可證出平面；

（Ⅱ）以點為坐標原點，分別以直線，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求得各點的坐標，求出平面和平面的的一個法向量，再根據法向量求出二面角．

（Ⅰ）證：平面，，

又正方形中，，，平面，

又平面，，

，當為的中點時，平行平面，所以是的中點，

，，平面；

（Ⅱ）解：以點為坐標原點，分別以直線，，為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

設平面的法向量為，則，，

，令，得到，，；

又，，，且平面，

平面的一個法向量為；

設二面角的平面角為，由圖可知角為銳角，

則，

二面角的余弦值為．