Question

（2009•紅橋區(qū)二模）已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，低面△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=2

2

，∠ACB=90°，AA₁=4，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AA₁的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證AB₁⊥平面CEF；
（Ⅱ）求異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐C₁-EFC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，EF⊥AB₁，CE⊥AB₁，再由線面垂直的判斷定理即可得到AB₁⊥平面CEF；也可用空間向量來(lái)處理；
（Ⅱ）由兩直線的方向向量夾角的余弦值得到異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值；
（Ⅲ）要求三棱錐V的體積，即求三棱錐E-FCC₁的體積，而三棱錐E-FCC₁的高為E到AC的距離，△FCC₁的面積為

1

2

×2

2

×4=4

2

，則三棱錐體積可求．

解答：解：由于在直棱柱ABC-A₁B₁中，則CC₁⊥平面ABC，
又由∠ACB=90°，所以AC，CB，CC₁兩兩垂直
故可以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(2

2

，0，0)，B(0，2

2

，0)，C（0，0，0），B1(0，2

2

，4)，C₁（0，0，4）
故E(

2

，

2

，0)，F(2

2

，0，2)
（1）設(shè)平面CEF的法向量為

n

=(x，y，z)
由于

CE

=(

2

，

2

，0)，

CF

=(2

2

，0，2)
則

n • CE =0 n • CF =0

，即得

2 x+ 2 y=0 2 2 x+2z=0

故平面CEF的一個(gè)法向量為

n

=(1，-1，-

2

)
又由于

AB1

=(-2

2

，2

2

，4)=-2

2

(1，-1，-

2

)
故

AB1

∥

n

，所以AB₁⊥平面CEF；
（2）由（1）知，

AB1

=(-2

2

，2

2

，4)，

BC1

=(0，-2

2

，4)
則|

AB1

|=|(-2

2

，2

2

，4)|=4

2

，|

BC1

|=|(0，-2

2

，4)|=2

6

AB1

•

BC1

=(-2

2

，2

2

，4)•(0，-2

2

，4)=8
則cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

| AB1 |•| BC1 |

=

8

4 2 •2 6

=

3

6

；
（3）由于三棱錐E-FCC₁的高為E到AC的距離，
△FCC₁的面積為

1

2

×2

2

×4=4

2

，
則三棱錐E-FCC₁的體積V=

1

3

×

1

2

BC×S△FCC1=

1

3

×

2

×

1

2

×2

2

×4=

8

3

又由VE-FCC1=VC1-EFC，則得三棱錐C₁-EFC的體積為

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，線線角的求法以及空間幾何體，考查空間想象能力、邏輯思維能力，是中檔題．