Question

在三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）當(dāng)＜B＜時(shí)，求函數(shù)y=2sin²B+cos（-2B）的值域．

Answer 1

解：（1）∵=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥
∴（2b-c）cosA=acosC即（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0（2分）
化簡(jiǎn)，得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）
∵A+B+C=π，
∴2sinBcosA=sin（π-B）=sinB…（4分）
∵在銳角三角形ABC中，sinB＞0
∴兩邊約去sinB，得cosA=，
結(jié)合A是三角形的內(nèi)角，得A=…（6分）
（2）∵銳角三角形ABC中，A=，∴＜B＜…（7分）
∴y=2sin²B+cos（-2B）=1-cos2B+cos2B+sin2B
=1+sin2B-cos2B=1+sin（2B-）…（9分）
∵＜B＜，∴＜2B-＜
∴＜sin（2B-）≤1，可得＜y≤2
∴函數(shù)y=2sin²B+cos（-2B）的值域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png' />，2]．…（12分）
分析：（1）根據(jù)向量平行的充要條件列式：（2b-c）cosA=acosC，結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得2sinBcosA=sin（A+C），最后用正弦的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理，可得cosA=，從而得到角A的大��；
（2）將函數(shù)用降次公式與兩角差的余弦公式展開，化簡(jiǎn)整理得y=1+sin（2B-），結(jié)合A=討論銳角B的范圍，從而得到2B-的取值范圍，由此不難得到函數(shù)y=2sin²B+cos（-2B）的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題給出向量平行，通過(guò)列式化簡(jiǎn)求A的大小，并求關(guān)于B的三角式的取值范圍．著重考查了平面向量平行、三角恒等化簡(jiǎn)、正弦定理和誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．