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若a,b,c＞0,求證:ABC≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

證明:∵(a+b-c)+(b+c-a)=2b＞0,?

(b+c-a)+(c+a-b)=2c＞0,?

(c+a-b)+(a+b-c)=2a＞0,?

∴a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一個數(shù)非正.??

(1)當a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且僅有一個數(shù)為非正時,原不等式顯然成立.?

(2)a+b-c,b+c-a,c+a-b均為正時,則?

(a+b-c)(b+c-a)≤

=b.

同理,)≤a,≤c,?

三式相乘得

ABC≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

點評:均值不等式成為啟動證題過程的理由(充分條件),在證題過程中,對三個小不等式實行了疊乘的運算,還有為應用均值不等式而進行的討論都是值得同學們注意的.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

20、已知互不相等的三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且a＜0＜b＜c，將a，b，c重新適當排序后，又能成等比數(shù)列，若a+b+c=6，求a，b，c．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(2，-3)，
b
=(1，m)（m∈R），
c
=(2，5)
（I）若(
a
+
b
)•
c
=1，求m的值；（II）若(
a
-
b
)•(
b
+
c
)＞0，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知互不相等的三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且a＜0＜b＜c，將a，b，c重新適當排序后，又能成等比數(shù)列，若a+b+c=6，求a，b，c．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
=(2，-3)，
b
=(1，m)（m∈R），
c
=(2，5)
（I）若(
a
+
b
)•
c
=1，求m的值；（II）若(
a
-
b
)•(
b
+
c
)＞0，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學復習（第6章 數(shù)列）：6.9 綜合練習（解析版） 題型：解答題

已知互不相等的三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且a＜0＜b＜c，將a，b，c重新適當排序后，又能成等比數(shù)列，若a+b+c=6，求a，b，c．

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