Question

11．如圖在三棱錐P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，PA=1，PB=2，PC=2，則該棱錐外接球的體積為$\frac{9}{2}π$．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑，結(jié)合球的體積公式，可算出棱錐外接球的體積．

解答 解：以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖
則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長方體的對角線長為$\sqrt{1+4+4}$=3，
∴球直徑為3，半徑R=$\frac{3}{2}$，
因此，棱錐外接球的體積為$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{9}{2}π$．
故答案為：$\frac{9}{2}π$．

點評 本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，求棱錐外接球的體積，著重考查了長方體對角線公式和球的表面積計算等知識，屬于基礎(chǔ)題．