Question

13．有限非空數(shù)集A滿足條件：若a∈A，則$\frac{1}{1-a}$∈A（a≠1）．
（1）若2∈A，試寫出A中的其他元素；
（2）自己設(shè)計(jì)一個(gè)滿足條件的集合A，用列舉法表示出來(lái)；
（3）從上面的解答中，你能得出什么結(jié)論？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件進(jìn)行遞推即可得到A中其他所有元素．
（2）不妨設(shè)x=3，求出A中其他所有元素
（3）根據(jù)（1）（2）的元素特點(diǎn)得到結(jié)論并證明

解答 解：（1）若2∈A，則$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A，
即A中其他所有元素為-1，$\frac{1}{2}$．
（2）若3∈A，則 $\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$∈A，$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3∈A，
即A中其他所有元素-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$．
（3）A中只有三個(gè)元素a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，且三個(gè)數(shù)的乘積為-1．
證明：a∈A，則$\frac{1}{1-a}$∈A（a≠1且$\frac{1}{1-a}$≠1）
則 $\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{a-1}{a}$∈A，且$\frac{a-1}{a}$≠1，
進(jìn)而 $\frac{1}{1-\frac{a-1}{a}}$=a∈A，
∵a≠$\frac{1}{1-a}$（若a=$\frac{1}{1-a}$，即a²-a+1=0，此時(shí)方程無(wú)解）
∴$\frac{1}{1-a}$≠$\frac{a-1}{a}$，
∴A中只有3個(gè)元素a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，且三個(gè)數(shù)的乘積為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查元素和集合的關(guān)系，利用條件進(jìn)行推理并總結(jié)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力．