Question

1．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（x-a）²-a²，且對(duì)x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的解析式，討論a的取值，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用圖象平移以及數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（x-a）²-a²，
∴若x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=（-x-a）²-a²=-f（x），
即f（x）=-（x+a）²+a²，x＜0，
若a≤0，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}-{a}^{2}}&{x≥0}\\{-（x+a）^{2}+{a}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$在定義域上為增函數(shù)，恒有f（x+1）≥f（x）成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∵f（x+1）的圖象可以函數(shù)是由函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位得到的，
需要函數(shù)f（x）的圖象至少向左平移2a-（-2a）=4a個(gè)單位才能滿足f（x+1）≥f（x）恒成立，
則4a≤1，即0＜a≤$\frac{1}{4}$，
綜上a≤$\frac{1}{4}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{4}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)的解析式，以及利用分類討論和數(shù)形結(jié)合以及圖象平移關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．