Question

5．設$x∈（0，\frac{π}{2}）$，則函數(shù)$y=\frac{sin2x}{{2{{sin}^2}x+1}}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 變形可得2x∈（0，π），y=-$\frac{sin2x-0}{cos2x-2}$，表示點（cos2x，sin2x）和（2，0）連線斜率的相反數(shù)，點（cos2x，sin2x）在單位圓的上半圓，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，∴2x∈（0，π），
變形可得y=$\frac{sin2x}{1-cos2x+1}$=-$\frac{sin2x-0}{cos2x-2}$，
表示點（cos2x，sin2x）和（2，0）連線斜率的相反數(shù)，
而點（cos2x，sin2x）在單位圓的上半圓，
結(jié)合圖象可得當直線傾斜角為150°（相切）時，
函數(shù)取最大值-tan150°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為斜率并數(shù)形結(jié)合是解決問題的關鍵，屬中檔題．