Question

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則

9

x+y

+

4

z

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,基本不等式

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用數(shù)量積運(yùn)算與三角形的面積計(jì)算公式可得x+y+z=1，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴bccos30°=2

3

，
化為bc=4．
∴S_△ABC=

1

2

bcsin30°=1．
∴x+y+z=1．
∴

9

x+y

+

4

z

=（x+y+z）(

9

x+y

+

4

z

)=13+

9z

x+y

+

4(x+y)

z

≥13+2

9z x+y • 4(x+y) z

=25，當(dāng)且僅當(dāng)3z=2（x+y）=

6

5

時取等號．
∴

9

x+y

+

4

z

的最小值是25．
故答案為：25．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算與三角形的面積計(jì)算公式、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．