Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線(xiàn)C：（a，b＞0）的在左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線(xiàn)F₁B與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于P，Q兩點(diǎn)，線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M．若|MF₂|=|F₁F₂|則C的離心（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：確定PQ，MN的斜率，求出直線(xiàn)PQ與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，得到MN的方程，從而可得M的橫坐標(biāo)，利用|MF₂|=|F₁F₂|，即可求得C的離心率．
解答：解：|OB|=b，|O F₁|=c．∴k_PQ=，k_MN=-．
直線(xiàn)PQ為：y= （x+c），兩條漸近線(xiàn)為：y=x．
由，得Q（ ）；由得P．
∴直線(xiàn)MN為，
令y=0得：x_M=．
又∵|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴3c=x_M=，
∴3a²=2c²
解之得：，即e=．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的幾何形狀，考查解方程組，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．