Question

設(shè)數(shù)列a₁=f（a），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），f（x）=2x（1-x），0＜a＜1．則下列不等式成立的是（　�。�

• A、a_n≤a_n+1＜0
• B、0＜a_n≤a_n+1
• C、a_n+1≤a_n＜0
• D、0＜a_n+1≤a_n

Answer 1

分析：利用二次函數(shù)性質(zhì)得出x∈（0，1）時，f（x）=2x（1-x）∈（0，

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]，確定a₁=f（a）∈（0，

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2

]，再利用f（x）=2x（1-x）∈（0，

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2

]，x∈（0，

1

2

]，得出a_n＞0．對于a_n與a_n+1大小比較，相當(dāng)于自變量與函數(shù)值大小比較，可以考察函數(shù)h（x）=x-f（x）=-x+2x²在x∈（0，

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2

]上的正負(fù)情形判斷．

解答：解：對于f（x）=2x（1-x），在x∈（0，1）時，f（x）∈（0，

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]，
又∵0＜a＜1，∴a₁=f（a）∈（0，

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2

]，
又f（x）=2x（1-x）∈（0，

1

2

]，x∈（0，

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]，
∴a₂=f（a₁）∈（0，

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2

]，依此類推，a_n+1=f（a_n）∈（0，

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2

]，
∴a_n＞0．
由于函數(shù)h（x）=x-f（x）=-x+2x²≤0，x∈（0，

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]，
∴x≤f（x），x∈（0，

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2

]，
而a_n=∈（0，

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]，
∴a_n≤f（a_n）
即a_n≤a_n+1．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考察構(gòu)造，推理，計(jì)算能力．