Question

17．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)且f（x）+f（-x）=0．當x＞0時，f（x）=2x-x²．      
①求f（x）的解析式；
②當x∈[1，+∞）時，g（x）=f（x）；當x∈（-∞，1）時，g（x）=x²-mx+2m-3．g（x）在R上單調遞減，求實數(shù)m的取值范圍；
③是否存在正實數(shù)a，b，使得當x∈[a，b]時，h（x）=f（x），且h（x）的值域為[$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，若存在，求出a，b；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質即可求f（x）的解析式；
②根據(jù)分段函數(shù)的表達式，結合一元二次函數(shù)的單調性即可求實數(shù)m的取值范圍；
③利用一元二次函數(shù)的單調性，對a，b進行討論即可得到結論．

解答 解：①由f（x）+f（-x）=0得f（-x）=-+f（x）．
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
則當x=0時，f（0）=0，
若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=-2x-x²=-f（x），
即f（x）=2x+x²，（x＜0），
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，}&{x≥0}\\{2x+{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$．
②當x∈[1，+∞）時，g（x）=f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，此時函數(shù)在[1，+∞）為減函數(shù)，
當x∈（-∞，1）時，g（x）=x²-mx+2m-3．
若g（x）在R上單調遞減，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}≥1}\\{1-m+2m-3≥2-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m≥4}\end{array}\right.$，解得m≥4，
故實數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）；
③當x＞0時，h（x）=f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
則函數(shù)的對稱軸為x=1，
若0＜a＜b≤1，則此時函數(shù)在（0，1]上為增函數(shù)，此時函數(shù)的最大值為1，
∵0＜a＜1，∴$\frac{1}{a}＞1$，則值域為[$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]不成立，
若0＜a＜1＜b，則此時函數(shù)的最大值為1，即$\frac{1}{a}$=1，解得a=1，不成立，
若1≤a＜b，則函數(shù)在[1，+∞）為減函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=2a-{a}^{2}=\frac{1}}\\{f（b）=2b-^{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$
兩式相乘得2-a=2-b，解得a=b，與a＜b矛盾，
故不存在正實數(shù)a，b使h（x）的值域為[$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及分段函數(shù)的性質，結合一元二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．