Question

11．（理）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，對(duì)任意n∈N₊，有a_n+1=$\frac{2}{3}$S_n，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：對(duì)任意n∈N₊，有a_n+1=$\frac{2}{3}$S_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}=\frac{2}{3}{S}_{n-1}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{3}{a}_{n}$．
∴${a}_{n+1}=\frac{5}{3}{a}_{n}$，
又${a}_{2}=\frac{2}{3}×{a}_{1}$=$\frac{2}{3}$．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列，a₂=$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{5}{3}$，
∴n≥2時(shí)，${a}_{n}={a}_{2}×{q}^{n-2}$=$\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．