Question

（2013•唐山二模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=2，∠ABC=90°，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求幾何體BDA₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（I）連接B₁C，交BC₁于點P，連接PD．由平行四邊形的性質，得到PD是△AB₁C的中位線，得PD∥B₁A，結合線面平行的判定定理，證出AB₁∥平面BC₁D；
（II）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，算出直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₁=S_△ABC×CC₁=4．由三棱錐C₁-BDC與三棱錐A₁-BDA的底面積相等，且高也相等可得它們的體積都等于

1

2

×

1

3

×V₁=

2

3

．最后用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，減去三棱錐C₁-BDC與三棱錐A₁-BDA的體積之和，即可得到幾何體BDA₁B₁C₁的體積．

解答：解：（Ⅰ）連接B₁C，交BC₁于點P，連接PD．
∵BB₁C₁C是平行四邊形，∴B₁C與BC₁互相平分，可得P為為B₁C的中點
∵D為AC的中點，∴PD是△AB₁C的中位線，得PD∥B₁A，
又∵PD?平面B₁CD，B₁A?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．…（6分）
（Ⅱ）∵△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2
∴△ABC的面積為S_△ABC=

1

2

×2×2=2
由此可得：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₁=S_△ABC×CC₁=2×2=4．
∵三棱錐C₁-BDC與三棱錐A₁-BDA的底面積相等，且高也相等
∴三棱錐C₁-BDC的體積V₂與三棱錐A₁-BDA的體積V₃相等，
可得V₂=V₃=

1

3

×

1

2

V₁=

2

3

．
因此，幾何體BDA₁B₁C₁的體積V=V₁-V₂-V₃=4--

2

3

-

2

3

=

8

3

．…（12分）

點評：本題在直三棱柱中求證線面平行并求特殊多面體的體積，著重考查了線面平行的判定定理和柱體、錐體體積的計算等知識，屬于中檔題．