Question

已知直線l過點P（3，1）且被兩平行線l₁:x+y+1=0,l₂:x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的方程.

Answer 1

直線l的方程為x=3或y=1.

解析:

方法一  若直線l的斜率不存在，

則直線l的方程為x=3,此時與l₁,l₂的交點分別是

A（3，-4），B（3，-9），

截得的線段長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.                                                                                          4分

若直線l的斜率存在時，

則設(shè)直線l的方程為y=k(x-3)+1,

分別與直線l₁,l₂的方程聯(lián)立，

由,

解得A.                                                                                                                              8分

由,解得B,

由兩點間的距離公式，得

+=25，

解得k=0,即所求直線方程為y=1.                                                                                                  10分

綜上可知，直線l的方程為x=3或y=1.                                                                                      12分

方法二  設(shè)直線l與l₁,l₂分別相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+y₁+1=0,x₂+y₂+6=0,

兩式相減，得(x₁-x₂)+(y₁-y₂)=5                                             ①                                                        6分

又(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=25                                                               ②

聯(lián)立①②可得或,                                                                                              10分

由上可知，直線l的傾斜角分別為0°和90°，

故所求的直線方程為x=3或y=1.                                                                                                  12分