Question

已知二次函數(shù)(是常數(shù)，且)滿足條件：，且方程有兩個相等實根．

(1)求的解析式；

(2)是否存在實數(shù)，使的定義域和值域分別為和？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)方程　f(x)＝x，即ax²＋bx＝x，

亦即ax²＋(b－1)x＝0，

由方程有兩個相等實根，得Δ＝(b－1)²－4a×0＝0，

∴b＝1.①

由f(2)＝0，得4a＋2b＝0②

由①、②得，a＝－，b＝1，

故　f(x)＝－x²＋x.

(2)假設(shè)存在實數(shù)m、n滿足條件，由(1)知，

　f(x)＝－x²＋x＝－ (x－1)²＋≤，

則2n≤，即n≤.

∵　f(x)＝－ (x－1)²＋的對稱軸為x＝1，

∴當(dāng)n≤時，　f(x)在[m，n]上為增函數(shù)．

于是有即

∴m<n≤，∴.

故存在實數(shù)m＝－2，n＝0，

使　f(x)的定義域為[m，n]，值域為[2m,2n]．

【解析】略