Question

 已知數(shù)列 、 滿足 ，，。

（I）求證數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項公式；

（II）若數(shù)列的前項和為 ，設(shè) ，求證：。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）由 得  代入 ，

    得 ，整理得 。

∵ ， 否則 ，與  矛盾。

從而得 ，

∵   ∴數(shù)列  是首項為1，公差為1的等差數(shù)列。

∴，即．--------------------------------------------------------------7分

（II）∵ ，

∴ ＝

＝。

證法1：∵

              ＝

              ＝

∴．--------------------------------------------------------------14分

證法2： ∵ ， ∴，

∴ 。

∴．---------------------------------------------------------------14分

（III）（教師講評試卷的時候可以選用該小題）

      求證：對任意的有成立．

    用數(shù)學(xué)歸納法證明：

  ①當(dāng)時，不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)（，）時，不等式成立，即

，那么當(dāng)時

     ＝

∴當(dāng)時，不等式成立。

由①②知對任意的,不等式成立．