Question

2．已知關(guān)于x的方程x²+（m-3）x+m=0．
（1）若方程的一根大于2，一根小于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程的兩根都小于-2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若方程的一根在區(qū)間（-2，0）內(nèi)，一根在區(qū)間（0，4）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（4）若方程的兩根都在區(qū)間（0，2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得各種條件下實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：令f（x）=x²+（m-3）x+m，
（1）若方程x²+（m-3）x+m=0的一根大于2，一根小于2，
令f（x）=x²+（m-3）x+m，則有 f（2）=3m-2＜0，求得m＜$\frac{2}{3}$．
（2）若方程x²+（m-3）x+m=0的兩根都小于-2，
則有$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{-\frac{m-3}{2}＜-2}\\{f（-2）＞0}\end{array}\right.$，求得 9≤m＜10．
（3）若方程x²+（m-3）x+m=0的一根在區(qū)間（-2，0）內(nèi)，一根在區(qū)間（0，4）內(nèi)，
則有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=10-m＞0}\\{f（0）=m＜0}\\{f（4）=5m+4＞0}\end{array}\right.$，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍為-$\frac{4}{5}$＜m＜0．
（4）若方程x²+（m-3）x+m=0的兩根都在區(qū)間（0，2），則有 $\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-3）}^{2}-4m≥0}\\{0＜\frac{3-m}{2}＜2}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
求得$\frac{2}{3}$＜m≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．