Question

已知圓C₁：x²+y²+D₁x+8y﹣8=0，圓C₂：x²+y²+D₂x﹣4y﹣2=0．

（1）若D₁=2，D₂=﹣4，求圓C₁與圓C₂的公共弦所在的直線l₁的方程；

（2）在（1）的條件下，已知P（﹣3，m）是直線l₁上一點，過點P分別作直線與圓C₁、圓C₂相切，切點為A、B，求證：|PA|=|PB|；

（3）將圓C₁、圓C₂的方程相減得一直線l₂：（D₁﹣D₂）x+12y﹣6=0．Q是直線l₂上，且在圓C₁、圓C₂外部的任意一點．過點Q分別作直線QM、QN與圓C₁、圓C₂相切，切點為M、N，試探究|QM|與|QN|的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：

圓方程的綜合應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系；相交弦所在直線的方程．

專題：

計算題；直線與圓．

分析：

（1）對兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程．

（2）求出兩個圓的圓心坐標與半徑，求出兩個切線長即可證明結(jié)果．

（3）求出兩個圓的圓心坐標與半徑，利用切線長與半徑的垂直關(guān)系，比較|QM|與|QN|的關(guān)系．

解答：

解：（1）由題意，∵D₁=2，D₂=﹣4，

∴圓C₁：x²+y²+2x+8y﹣8=0，圓C₂：x²+y²﹣4x﹣4y﹣2=0相交，

∴兩圓的方程作差得6x+12y﹣6=0，

即公式弦所在直線方程為x+2y﹣1=0．

（2）P（﹣3，m）是直線l₁上一點，所以m=2

過點P分別作直線與圓C₁、圓C₂相切，切點為A、B，

圓C₁的圓心坐標（﹣1，﹣4），半徑為：5；

圓C₂的圓心坐標（2，2），半徑為：．

所以PA²=（﹣1+3）²+（﹣4﹣2）²﹣25=15．

PB²=（2+3）²+（2﹣2）²﹣10=15．

所以|PA|=|PB|；

（3）圓C₁x²+y²+D₁x+8y﹣8=0，圓心坐標（，﹣4），半徑為：；

圓C₂：x²+y²+D₂x﹣4y﹣2=0，圓心坐標（，2），半徑為：．

直線l₂：（D₁﹣D₂）x+12y﹣6=0．Q是直線l₂上，設(shè)Q（），

|QM|²=與|QN|²=，

|QM|²﹣|QN|²=，

當時，|QM|=|QN|，

當時，|QM|＞|QN|，

當時，|QM|＜|QN|．

點評：

本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用與圓的位置關(guān)系，考查發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力．