Question

9．若函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x{-a}^{\frac{1}{2}}}{x{-a}^{\frac{1}{3}}}$且0＜a＜1
（1）寫出f（x）的定義域；
（2）若f（x）定義域關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$${a}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{4}$${a}^{\frac{1}{6}}$，0）對(duì)稱，求a的值；
（3）在（2）條件下，寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)數(shù)的定義可得，$\frac{x{-a}^{\frac{1}{2}}}{x{-a}^{\frac{1}{3}}}$＞0，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次不等式的解法，即可得到定義域；
（2）由題意可得${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{3}}$=2（$\frac{1}{2}$${a}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{4}$${a}^{\frac{1}{6}}$），解方程可得a的值；
（3）化簡函數(shù)f（x），再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，即可得到所求單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由對(duì)數(shù)的定義可得，$\frac{x{-a}^{\frac{1}{2}}}{x{-a}^{\frac{1}{3}}}$＞0，
由0＜a＜1可得，${a}^{\frac{1}{2}}$＜${a}^{\frac{1}{3}}$，
解不等式可得x＜${a}^{\frac{1}{2}}$或x＞${a}^{\frac{1}{3}}$，
即有定義域?yàn)椋?∞，${a}^{\frac{1}{2}}$）∪（${a}^{\frac{1}{3}}$，+∞）；
（2）由題意可得${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{3}}$=2（$\frac{1}{2}$${a}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{4}$${a}^{\frac{1}{6}}$），
即2${a}^{\frac{1}{3}}$=${a}^{\frac{1}{6}}$，即有${a}^{\frac{1}{6}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{1}{64}$；
（3）當(dāng)a=$\frac{1}{64}$時(shí)，可得f（x）=log₂$\frac{8x-1}{4x-1}$，
定義域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{8}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞），
即有f（x）=log₂（2+$\frac{1}{4x-1}$），
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，
f（x）的減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{8}$），（$\frac{1}{4}$，+∞），無增區(qū)間．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的定義域的求法和單調(diào)區(qū)間的求法，注意運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，屬于中檔題．