Question

設(shè)a,b為正數(shù),求證:不等式+1＞①成立的充要條件是:對于任意實數(shù)x＞1,有ax+＞b.②

Answer 1

證明:設(shè)f(x)=ax+(x＞1),?

那么不等式②對x∈(1,+∞)恒成立的充要條件是函數(shù)f(x)(x＞1)的最小值大于b.?

∵f(x)=ax+1+=(a+1)+a(x-1)+≥(a+1)+2a=(a+1)²,?

當(dāng)且僅當(dāng)a(x-1)= ,x=1+時,上式等號成立,?

故f(x)的最小值是(a+1)².?

因此,不等式②對于x＞1恒成立的充要條件是(+1)²＞b+1＞.